Integrale di ${\cos \left(x\right)}^2$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riduzione mediante identità trigonometrica

   L'integranda ${\cos }^2(x)$ viene riscritta usando l'identità fondamentale: ${\cos }^2(x)=\frac{1+\cos (2x)}{2}$.

   Sostituiamo nell'integrale:

   $$\int {\cos }^2(x)dx=\int \frac{1+\cos (2x)}{2}dx=\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int \cos (2x)dx.$$

   Ora integriamo separatamente:

   - $\int dx=x$. - $\int \cos (2x)dx$: con la sostituzione mentale $u=2x$, $du=2dx$, si ha $\frac{1}{2}\int \cos udu=\frac{1}{2}\sin u=\frac{1}{2}\sin (2x)$.

   Pertanto:

   $$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\sin (2x)+C=\frac{x}{2}+\frac{\sin (2x)}{4}+C.$$

   Verifica: Derivo il risultato.

   $D\left(\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}$.

   $D\left(\frac{\sin (2x)}{4}\right)=\frac{1}{4}\cdot 2\cos (2x)=\frac{1}{2}\cos (2x)$.

   La somma è $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (2x)=\frac{1}{2}(1+\cos (2x))={\cos }^2(x)$, confermando la correttezza.

Domande frequenti

Esercizi correlati