Integrale di ${\tan }^{-1}\left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Integrazione per parti: scelta di $u$ e $dv$

   Scegliamo $u=\arctan (x)$ e $dv=dx$.

   Calcoliamo $du$ e $v$:

   $$du=\frac{1}{1+x^2}dx,v=x$$

   Applicando la formula $\int udv=uv-\int vdu$:

   $$\int \arctan (x)dx=x\arctan (x)-\int \frac{x}{1+x^2}dx$$
2. 2

   Integrale rimanente: sostituzione $t = 1+x^2$

   Calcoliamo $\int \frac{x}{1+x^2}dx$.

   Poniamo $t=1+x^2$, da cui $dt=2xdx$, ossia $xdx=\frac{dt}{2}$.

   Allora:

   $$\int \frac{x}{1+x^2}dx=\int \frac{1}{t}\cdot \frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\ln |t|+C_1=\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C_1$$

   (e poiché $1+x^2>0$, possiamo omettere il modulo).

3. 3

   Risultato e verifica con derivazione

   Sostituendo nell'espressione ottenuta:

   $$\int \arctan (x)dx=x\arctan (x)-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$$

   Verifica: deriviamo il risultato:

   $$\frac{d}{dx}\left[x\arctan (x)-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C\right]=\arctan (x)+\frac{x}{1+x^2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{1+x^2}=\arctan (x)$$

   L'integranda originale viene riottenuta, confermando la correttezza.

Domande frequenti

Esercizi correlati