Derivata di $\frac{x}{\left(x^2+1\right)}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola del quoziente

   La funzione $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ è un rapporto di due funzioni: $N(x)=x$ e $D(x)=x^2+1$.

   Applichiamo la regola di derivazione del quoziente: $f^{\prime }(x)=\frac{N^{\prime }(x)D(x)-N(x)D^{\prime }(x)}{[D(x){]}^2}$.

   Calcoliamo le derivate: $N^{\prime }(x)=1$, $D^{\prime }(x)=2x$.

   Sostituiamo:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+1)-x\cdot (2x)}{(x^2+1{)}^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1{)}^2}$$

   Semplifichiamo il numeratore: $x^2+1-2x^2=1-x^2$.

   Pertanto la derivata prima è:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$$

   Verifica con la regola del prodotto: riscrivendo $f(x)=x\cdot (x^2+1{)}^{-1}$, si ottiene $f^{\prime }(x)=1\cdot (x^2+1{)}^{-1}+x\cdot (-1)\cdot (x^2+1{)}^{-2}\cdot 2x=\frac{1}{x^2+1}-\frac{2x^2}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$.

   Il risultato è confermato.

Domande frequenti

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