Derivata di $x^3$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola di derivazione delle potenze

   La funzione $f(x)=x^3$ è una potenza pura.

   Applico la regola $\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$ con $n=3$:

   $$\frac{d}{dx}(x^3)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$$

   Non ci sono termini addizionali o coefficienti, quindi il risultato è immediato.

2. 2

   Verifica tramite definizione di derivata

   Per controllare, uso il limite del rapporto incrementale:

   $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^3-x^3}{h}$$

   Sviluppo il cubo: $(x+h{)}^3=x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3$.

   Sottraendo $x^3$ e semplificando $h$:

   $$\frac{x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3-x^3}{h}=3x^2+3xh+h^2$$

   Passando al limite $h\to 0$, i termini $3xh$ e $h^2$ si annullano, confermando:

   $$f^{\prime }(x)=3x^2$$

   Il risultato coincide con quello ottenuto dalla regola di potenza.

Domande frequenti

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