Derivata di $\frac{1}{x}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola delle potenze (forma $x^{-1}$)

   Riscrivo $f(x)=\frac{1}{x}$ come $f(x)=x^{-1}$.

   Applico la regola di derivazione delle potenze: se $f(x)=x^n$, allora $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$.

   Con $n=-1$ si ottiene:

   $$f^{\prime }(x)=-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}.$$
2. 2

   Verifica con la regola del quoziente

   Considero $f(x)=\frac{1}{x}$ come quoziente: numeratore $u(x)=1$, denominatore $v(x)=x$.

   Usando $\frac{d}{dx}\frac{u}{v}=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, con $u^{\prime }=0$, $v^{\prime }=1$, ottengo:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{0\cdot x-1\cdot 1}{x^2}=-\frac{1}{x^2}.$$

   Lo stesso risultato si ottiene anche dalla definizione limite ${\lim }_{h\to 0}\frac{1/(x+h)-1/x}{h}$, confermando la correttezza del calcolo.

Domande frequenti

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