Derivata di $\frac{\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola del quoziente

   La funzione $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$ è un quoziente di due polinomi.

   Applichiamo la regola $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, con $u=x+1$, $v=x-1$, $u^{\prime }=1$, $v^{\prime }=1$.

   Il calcolo è immediato:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{x-1-x-1}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$$
2. 2

   Verifica con manipolazione algebrica

   Riscriviamo $f(x)$ come $1+\frac{2}{x-1}$ (divisione dei polinomi).

   Deriviamo termine a termine: la derivata di $1$ è $0$, quella di $\frac{2}{x-1}=2\cdot (x-1{)}^{-1}$ è $2\cdot (-1)(x-1{)}^{-2}\cdot 1=-\frac{2}{(x-1{)}^2}$.

   Il risultato conferma quanto ottenuto sopra, garantendo la correttezza del calcolo.

   $$f(x)=1+2(x-1{)}^{-1}\Rightarrow f^{\prime }(x)=0+2\cdot (-1)(x-1{)}^{-2}\cdot 1=-\frac{2}{(x-1{)}^2}$$

Domande frequenti

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