Derivata di $x^4$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola di derivazione della potenza

   La funzione $f(x)=x^4$ è una semplice potenza.

   Utilizziamo la regola fondamentale:

   $$D[x^n]=n\cdot x^{n-1}$$

   Applicando con $n=4$ otteniamo immediatamente:

   $$f^{\prime }(x)=4\cdot x^{4-1}=4x^3$$
2. 2

   Verifica tramite definizione di derivata

   Per confermare, calcoliamo il limite del rapporto incrementale:

   $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^4-x^4}{h}$$

   Sviluppiamo $(x+h{)}^4=x^4+4x^{3}h+6x^2{h}^2+4x{h}^3+h^4$.

   Sottraendo $x^4$ e dividendo per $h$:

   $$\frac{4x^{3}h+6x^2{h}^2+4x{h}^3+h^4}{h}=4x^3+6x^{2}h+4x{h}^2+h^3$$

   Passando al limite $h\to 0$, tutti i termini con $h$ si annullano, lasciando $4x^3$.

   Il risultato coincide esattamente con la regola della potenza, confermando la correttezza.

Domande frequenti

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