Derivata di $\frac{x}{\left(x+1\right)}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola del quoziente

   Applichiamo la regola di derivazione per il quoziente di due funzioni: $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.

   Poniamo $u=x$ e $v=x+1$.

   Calcoliamo le derivate: $u^{\prime }=1$, $v^{\prime }=1$.

   Sostituiamo:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x+1}\right)=\frac{1\cdot (x+1)-x\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{x+1-x}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$$
2. 2

   Verifica con riscrittura algebrica

   Possiamo riscrivere $f(x)=\frac{x}{x+1}$ come $f(x)=1-\frac{1}{x+1}$ (dopo aver eseguito la divisione polinomiale).

   La derivata di $1$ è $0$, mentre la derivata di $-\frac{1}{x+1}$ è $-\frac{d}{dx}((x+1{)}^{-1})=-(-1)(x+1{)}^{-2}=\frac{1}{(x+1{)}^2}$, confermando il risultato ottenuto.

Domande frequenti

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