Derivata di $x^2\cdot \sin \left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

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   Regola del prodotto – Derivata di $x^{2}\sin(x)$

   La funzione $f(x)=x^2\sin (x)$ è il prodotto di due funzioni: $u(x)=x^2$ e $v(x)=\sin (x)$.

   Applichiamo la regola del prodotto: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

   Calcoliamo le derivate parziali:

   $$u^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}{x}^2=2x,v^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\sin (x)=\cos (x).$$

   Combiniamo:

   $$f^{\prime }(x)=2x\cdot \sin (x)+x^2\cdot \cos (x)=2x\sin (x)+x^2\cos (x).$$
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   Verifica tramite derivata alternativa (definizione di limite)

   Per confermare, possiamo calcolare la derivata in un punto specifico (es.

   $x=1$) con un metodo indipendente, confrontando il valore della derivata ottenuta con il limite del rapporto incrementale.

   Usando la regola appena trovata: $f^{\prime }(1)=2(1)\sin (1)+(1{)}^2\cos (1)=2\sin (1)+\cos (1)$.

   Il rapporto incrementale per $h\to 0$ è $\frac{(1+h{)}^2\sin (1+h)-1^2\sin (1)}{h}$; sviluppando con Taylor e semplificando, si ottiene lo stesso limite $2\sin (1)+\cos (1)$.

   Poiché la regola del prodotto è derivata dalla definizione, la coerenza è garantita.

Domande frequenti

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