Derivata di $e^x\cdot \cos \left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola del prodotto di due funzioni

   La funzione $f(x)=e^x\cdot \cos (x)$ è il prodotto di due funzioni: $u(x)=e^x$ e $v(x)=\cos (x)$.

   La regola di derivazione del prodotto afferma:

   $$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

   Calcoliamo separatamente le derivate:

   - $u^{\prime }(x)=D[e^x]=e^x$ - $v^{\prime }(x)=D[\cos (x)]=-\sin (x)$

   Applicando la regola:

   $$f^{\prime }(x)=e^x\cdot \cos (x)+e^x\cdot (-\sin (x))=e^x\cos (x)-e^x\sin (x)$$

   Raccogliamo il fattore comune $e^x$:

   $$f^{\prime }(x)=e^x(\cos (x)-\sin (x))$$
2. 2

   Verifica con un metodo alternativo (derivazione logaritmica)

   Per sicurezza, ricalcoliamo la derivata usando la derivazione logaritmica.

   Prendiamo $\ln (f(x))=\ln (e^x\cos (x))=x+\ln (\cos (x))$.

   Deriviamo entrambi i membri:

   $$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=1+\frac{-\sin (x)}{\cos (x)}=1-\tan (x)$$

   Moltiplicando per $f(x)$:

   $$f^{\prime }(x)=e^x\cos (x)\cdot (1-\tan (x))=e^x\cos (x)\cdot \left(1-\frac{\sin (x)}{\cos (x)}\right)=e^x(\cos (x)-\sin (x))$$

   Il risultato coincide perfettamente, confermando la correttezza.

Domande frequenti

Esercizi correlati