Derivata di $x\cdot \sin \left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola del prodotto

   La funzione $f(x)=x\cdot \sin (x)$ è il prodotto di due funzioni: $u(x)=x$ e $v(x)=\sin (x)$.

   Applico la regola di derivazione del prodotto: $D[u\cdot v]=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$.

   Calcolo le derivate delle singole funzioni: - $u^{\prime }(x)=1$ - $v^{\prime }(x)=\cos (x)$

   Sostituisco nella formula:

   $$f^{\prime }(x)=1\cdot \sin (x)+x\cdot \cos (x)=\sin (x)+x\cos (x)$$
2. 2

   Verifica con un metodo indipendente (valore in $x=0$)

   Per controllare la correttezza, calcolo $f^{\prime }(0)$ in due modi diversi.

   1.

   Dalla formula appena ottenuta: $f^{\prime }(0)=\sin (0)+0\cdot \cos (0)=0+0=0$.

   2.

   Usando la definizione di derivata come limite:

   $$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h\sin (h)-0}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\sin (h)=0$$

   Il risultato coincide, confermando che la derivata è corretta.

Domande frequenti

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