Derivata di $\frac{\ln \left(x\right)}{x}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola del quoziente e verifica con la regola del prodotto

   La funzione $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}$ è il rapporto tra $g(x)=\ln (x)$ e $h(x)=x$.

   Applico la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln (x)\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln (x)}{x^2}$$

   Per verifica, riscrivo $f(x)=\ln (x)\cdot x^{-1}$ e uso la regola del prodotto:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{-1}+\ln (x)\cdot (-x^{-2})=x^{-2}-\ln (x)\cdot x^{-2}=\frac{1-\ln (x)}{x^2}$$

   I due metodi concordano, quindi il risultato è corretto.

Domande frequenti

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