Derivata di $\frac{e^x}{x}$

Svolgimento passo-passo

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   Identificazione della funzione e scelta della regola

   La funzione data è $f(x)=\frac{e^x}{x}$, un quoziente tra $e^x$ (numeratore) e $x$ (denominatore).

   Per derivarla applichiamo la regola del quoziente:

   $${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}.$$

   Poniamo $u=e^x$ e $v=x$.

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   Calcolo delle derivate e applicazione della regola

   Deriviamo $u$ e $v$: - $u^{\prime }=\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$, - $v^{\prime }=\frac{d}{dx}x=1$.

   Sostituiamo nella formula del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}.$$
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   Semplificazione dell'espressione

   Raccogliamo $e^x$ al numeratore:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.$$

   La derivata è già in forma semplificata.

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   Verifica con la regola del prodotto

   Riscriviamo $f(x)=e^x\cdot x^{-1}$ e applichiamo la regola del prodotto:

   $$f^{\prime }(x)=e^x\cdot x^{-1}+e^x\cdot (-1)x^{-2}=\frac{e^x}{x}-\frac{e^x}{x^2}.$$

   Mettendo a denominatore comune $x^2$:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{e^{x}x-e^x}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}.$$

   Il risultato coincide con quello ottenuto, confermando la correttezza della derivata.

Domande frequenti

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