Derivata di $x^2\cdot e^x$

Svolgimento passo-passo

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   Regola del prodotto

   La funzione $f(x)=x^2{e}^x$ è il prodotto di $u(x)=x^2$ e $v(x)=e^x$.

   Applico la regola del prodotto: $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.

   Calcolo le derivate: $u^{\prime }(x)=2x$, $v^{\prime }(x)=e^x$.

   Quindi:

   $$f^{\prime }(x)=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x$$
2. 2

   Semplificazione

   Raccolgo il fattore comune $e^x$:

   $$f^{\prime }(x)=e^x(2x+x^2)=e^x(x^2+2x)$$

   Si può fattorizzare ulteriormente: $e^{x}x(x+2)$.

3. 3

   Verifica con derivata logaritmica

   Per verificare, calcolo la derivata usando un metodo indipendente, la derivata logaritmica.

   Prendo il logaritmo naturale:

   $$\ln f(x)=\ln (x^2{e}^x)=2\ln x+x$$

   Derivo entrambi i membri:

   $$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{2}{x}+1$$

   Moltiplico per $f(x)=x^2{e}^x$:

   $$f^{\prime }(x)=x^2{e}^x\left(\frac{2}{x}+1\right)=x{e}^x(2+x)=e^{x}x(x+2)$$

   Il risultato coincide con quello ottenuto con la regola del prodotto.

   Verifica riuscita.

Domande frequenti

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