Derivata di $x\cdot \sqrt{x}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riscrittura della funzione come potenza

   La funzione $f(x)=x\sqrt{x}$ può essere espressa in forma esponenziale.

   Ricordando che $\sqrt{x}=x^{1/2}$, otteniamo:

   $$f(x)=x\cdot x^{1/2}=x^{1+1/2}=x^{3/2}$$

   Questa semplice riscrittura permette di applicare direttamente la regola di derivazione delle potenze.

2. 2

   Applicazione della regola della potenza

   La derivata di $x^n$ è $n{x}^{n-1}$.

   Con $n=\frac{3}{2}$:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{3/2}\right)=\frac{3}{2}{x}^{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{2}{x}^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$$

   Il risultato è immediato.

3. 3

   Verifica con la regola del prodotto

   Per sicurezza, deriviamo la forma originaria $f(x)=x\cdot \sqrt{x}$ usando la regola del prodotto $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$:

   - $u=x$, $u^{\prime }=1$ - $v=\sqrt{x}=x^{1/2}$, $v^{\prime }=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

   Quindi:

   $$f^{\prime }(x)=1\cdot \sqrt{x}+x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{1}{2}\sqrt{x}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$$

   Il risultato coincide con quello ottenuto precedentemente, confermando la correttezza del calcolo.

Domande frequenti

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