Derivata di $\sqrt{2\cdot x+1}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Derivata con la regola della catena

   La funzione $f(x)=\sqrt{2x+1}$ è una composizione: $g(u)=\sqrt{u}$ e $u(x)=2x+1$.

   Deriviamo separatamente:

   $$g^{\prime }(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}},u^{\prime }(x)=2.$$

   Per la regola della catena:

   $$f^{\prime }(x)=g^{\prime }(u(x))\cdot u^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}.$$
2. 2

   Verifica con derivazione implicita

   Poniamo $y=\sqrt{2x+1}$.

   Elevando al quadrato si ottiene $y^2=2x+1$.

   Deriviamo entrambi i membri rispetto a $x$ (ricordando che $y$ dipende da $x$):

   $$2y{y}^{\prime }=2⟹y^{\prime }=\frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}.$$

   Il risultato coincide con quello precedente, confermando la correttezza della derivata.

Domande frequenti

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