Derivata di $\frac{1}{\sqrt{x}}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riscrittura e regola della potenza

   Riscriviamo $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ come potenza: $f(x)=x^{-1/2}$.

   Applicando la regola di derivazione $D[x^n]=n{x}^{n-1}$:

   $$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}{x}^{-1/2-1}=-\frac{1}{2}{x}^{-3/2}=-\frac{1}{2x^{3/2}}.$$
2. 2

   Verifica con la regola del quoziente

   Verifichiamo usando la regola del quoziente: $f(x)=\frac{u}{v}$ con $u=1$, $v=\sqrt{x}=x^{1/2}$, $u^{\prime }=0$, $v^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

   $$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{0\cdot \sqrt{x}-1\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}{)}^2}=\frac{-\frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}=-\frac{1}{2x^{3/2}}.$$

   Il risultato coincide con quello ottenuto, confermando la correttezza.

Domande frequenti

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