Derivata di $\sqrt{x}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola della potenza

   La funzione $f(x)=\sqrt{x}$ può essere riscritta come $x^{1/2}$.

   Usando la regola di derivazione per potenze $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$, otteniamo:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{x}^{1/2-1}=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$
2. 2

   Verifica con la definizione di derivata

   Per verificare, calcoliamo il limite del rapporto incrementale:

   $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}.$$

   Razionalizziamo il numeratore moltiplicando numeratore e denominatore per $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$:

   $$\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.$$

   Passando al limite $h\to 0$, otteniamo $\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, che coincide con il risultato precedente.

   Quindi la derivata è corretta.

Domande frequenti

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