Derivata di $\sqrt{x^2+1}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola della catena per radice quadrata

   La funzione $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ si riscrive come $(x^2+1{)}^{1/2}$.

   Per derivare applichiamo la regola della catena: $D[(u{)}^{1/2}]=\frac{1}{2}{u}^{-1/2}\cdot u^{\prime }$, con $u=x^2+1$ e $u^{\prime }=2x$.

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(x^2+1{)}^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

   Verifica: utilizzando la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, si ottiene lo stesso risultato.

   Inoltre, per $x>0$ la derivata è positiva, coerentemente con la monotonia crescente della funzione.

   Per $x<0$ la derivata è negativa, come atteso.

Domande frequenti

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