Derivata di $x^x$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Derivazione logaritmica e regola della catena

   La funzione $f(x)=x^x$ è definita per $x>0$.

   Per calcolarne la derivata, si applica la derivazione logaritmica:

   $$\ln f(x)=\ln (x^x)=x\ln x$$

   Derivando implicitamente rispetto a $x$ e usando la regola del prodotto:

   $$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{d}{dx}[x\ln x]=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$$

   Moltiplicando per $f(x)$ si ottiene:

   $$f^{\prime }(x)=f(x)(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$$

   Verifica: riscrivendo $f(x)=e^{x\ln x}$, la derivata tramite catena $D[e^{x\ln x}]=e^{x\ln x}\cdot D[x\ln x]=x^x(\ln x+1)$ conferma il risultato.

Domande frequenti

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