Derivata di $\ln \left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Derivata del logaritmo naturale

   La funzione $f(x)=\ln (x)$ è definita per $x>0$.

   La derivata prima si ottiene applicando la regola fondamentale di derivazione del logaritmo naturale:

   $$\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{1}{x}$$

   Si assume la variabile $x$ nella forma semplice, senza composizioni.

2. 2

   Verifica tramite definizione di derivata

   Per assicurarsi della correttezza, si calcola il limite del rapporto incrementale:

   $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+h)-\ln (x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}$$

   Ponendo $u=h/x$, si ha $h=ux$ e per $h\to 0$, $u\to 0$.

   Allora:

   $$f^{\prime }(x)=\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+u)}{ux}=\frac{1}{x}\cdot \underset{u\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+u)}{u}$$

   Il limite notevole ${\lim }_{u\to 0}\frac{\ln (1+u)}{u}=1$ conferma il risultato $\frac{1}{x}$.

Domande frequenti

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