Derivata di $\ln \left(x^2\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola della catena per la derivata di un logaritmo

   La funzione è $f(x)=\ln (x^2)$.

   La derivata del logaritmo naturale $\ln (u)$ è $\frac{1}{u}\cdot u^{\prime }$ (regola della catena).

   Qui $u=x^2$, la cui derivata è $u^{\prime }=2x$.

   Quindi:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}\cdot 2x=\frac{2x}{x^2}=\frac{2}{x}.$$

   Si può anche semplificare la funzione originale usando la proprietà $\ln (x^2)=2\ln |x|$ (valida per $x\ne 0$) e derivare direttamente: $2\cdot \frac{1}{x}=\frac{2}{x}$.

2. 2

   Verifica del risultato

   Per controllare la correttezza, deriviamo numericamente un punto: per $x=1$, la derivata vale $2/1=2$.

   Usando la definizione di derivata come limite: ${\lim }_{h\to 0}\frac{\ln ((1+h{)}^2)-\ln (1^2)}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{\ln ((1+h{)}^2)}{h}$.

   Approssimando per $h=0.001$, $\ln (1.001^2)\approx \ln (1.002001)\approx 0.001999$, diviso $0.001$ dà $1.999$, prossimo a $2$.

   La regola applicata è quindi corretta.

Domande frequenti

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