Derivata di $\tan \left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola del quoziente e identità trigonometrica

   La funzione $f(x)=\tan x$ può essere riscritta come $f(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$.

   Applichiamo la regola di derivazione del quoziente: $f^{\prime }(x)=\frac{(\sin x{)}^{\prime }\cos x-\sin x(\cos x{)}^{\prime }}{{\cos }^{2}x}$.

   Calcoliamo le derivate: $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$.

   Sostituiamo:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$$

   Poiché ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, la derivata si semplifica in ${\sec }^{2}x$.

   Verifica: la derivata di $\tan x$ è nota dalla regola di derivazione delle funzioni trigonometriche, e il calcolo coincide.

Domande frequenti

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