Derivata di $\cos \left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Derivata della funzione coseno

   La funzione $f(x)=\cos (x)$ è una funzione trigonometrica elementare.

   La sua derivata prima è nota dalla regola di derivazione delle funzioni trigonometriche: $\frac{d}{dx}\cos (x)=-\sin (x)$.

   Per verificare con un metodo indipendente, utilizziamo la definizione di derivata come limite:

   $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}$$

   Scomponendo il limite:

   $$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\cos x(\cos h-1)}{h}-\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin x\sin h}{h}$$

   Sappiamo che ${\lim }_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0$ e ${\lim }_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$, quindi:

   $$=\cos x\cdot 0-\sin x\cdot 1=-\sin x$$

   I due metodi concordano, confermando il risultato.

Domande frequenti

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