Derivata di $\sin \left(x\right)\cdot \cos \left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

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   Applicazione della regola del prodotto

   La funzione $f(x)=\sin (x)\cdot \cos (x)$ è il prodotto di due funzioni: $u(x)=\sin (x)$ e $v(x)=\cos (x)$.

   Usiamo la regola del prodotto: $\frac{d}{dx}[u\cdot v]=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$.

   Calcoliamo le derivate: $u^{\prime }(x)=\cos (x)$, $v^{\prime }(x)=-\sin (x)$.

   Quindi:

   $$f^{\prime }(x)=\cos (x)\cdot \cos (x)+\sin (x)\cdot (-\sin (x))={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x).$$
2. 2

   Semplificazione e verifica con identità trigonometrica

   Il risultato ${\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$ può essere semplificato usando l'identità del coseno del doppio angolo: $\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$.

   Inoltre, possiamo verificare il risultato riscrivendo la funzione originale come $f(x)=\frac{1}{2}\sin (2x)$ e derivando con la regola della catena:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot \cos (2x)\cdot 2=\cos (2x).$$

   Entrambi i metodi concordano, confermando che la derivata prima è $\cos (2x)$.

Domande frequenti

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