Derivata di $\sin \left(2\cdot x\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola della catena per la funzione composta

   La funzione $f(x)=\sin (2x)$ è una composizione: $f(x)=\sin (u)$ con $u=2x$.

   Applichiamo la regola di derivazione delle funzioni composte (derivata esterna per derivata interna).

   La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$; la derivata di $u=2x$ rispetto a $x$ è $2$.

   Moltiplicando:

   $$f^{\prime }(x)=\cos (2x)\cdot 2=2\cos (2x).$$
2. 2

   Verifica della derivata

   Verifichiamo il risultato con un metodo alternativo: la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.

   $$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (2(x+h))-\sin (2x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (2x+2h)-\sin (2x)}{h}.$$

   Usando l'identità $\sin (A)-\sin (B)=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$ con $A=2x+2h$, $B=2x$, otteniamo:

   $$\frac{2\cos (2x+h)\sin (h)}{h}=2\cos (2x+h)\cdot \frac{\sin (h)}{h}.$$

   Passando al limite $h\to 0$, $\cos (2x+h)\to \cos (2x)$ e $\frac{\sin (h)}{h}\to 1$.

   Quindi il limite vale $2\cos (2x)$, confermando il risultato precedente.

Domande frequenti

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