Derivata di $\frac{\sin \left(x\right)}{x}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola del quoziente (o prodotto)

   Consideriamo $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ con $x\ne 0$.

   Applichiamo la regola del quoziente:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{(\sin x{)}^{\prime }\cdot x-\sin x\cdot (x{)}^{\prime }}{x^2}=\frac{\cos x\cdot x-\sin x\cdot 1}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}.$$

   Alternativamente, riscrivendo $f(x)=\sin x\cdot x^{-1}$ e usando la regola del prodotto si ottiene lo stesso risultato.

2. 2

   Verifica con metodo indipendente (regola del prodotto)

   Riscriviamo $f(x)=\sin x\cdot x^{-1}$.

   Deriviamo usando la regola del prodotto:

   $$f^{\prime }(x)=(\sin x{)}^{\prime }\cdot x^{-1}+\sin x\cdot (x^{-1}{)}^{\prime }=\cos x\cdot x^{-1}+\sin x\cdot (-1)x^{-2}=\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}.$$

   Portando a denominatore comune $x^2$ otteniamo $\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$, identico al risultato precedente.

   La derivata è corretta.

Domande frequenti

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