Derivata di $\ln \left(\sin \left(x\right)\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola della catena per funzioni composte

   La funzione $f(x)=\ln (\sin (x))$ è una composizione di $g(u)=\ln (u)$ e $h(x)=\sin (x)$.

   Applicando la regola della catena $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$, con $g^{\prime }(u)=\frac{1}{u}$ e $h^{\prime }(x)=\cos (x)$, si ottiene:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sin (x)}\cdot \cos (x)=\frac{\cos (x)}{\sin (x)}=\cot (x)$$
2. 2

   Verifica con approssimazione numerica

   Per verificare il risultato, si testa numericamente in un punto del dominio, ad esempio $x=\pi /4$.

   Si ha $\sin (\pi /4)=\sqrt{2}/2$, quindi $f(\pi /4)=\ln (\sqrt{2}/2)\approx -0.346574$.

   Con $h=0.001$, si calcola $f(\pi /4+0.001)$ usando l'approssimazione lineare: $\sin (\pi /4+0.001)\approx \sin (\pi /4)+0.001\cos (\pi /4)=0.707107+0.000707=0.707814$, e $\ln (0.707814)\approx \ln (0.707107)+0.001/0.707107=-0.346574+0.001414=-0.345160$.

   Il rapporto incrementale $\frac{f(0.785398+0.001)-f(0.785398)}{0.001}\approx \frac{-0.345160+0.346574}{0.001}=1.414$.

   Tuttavia, il valore di $\cot (\pi /4)=1$, ma l'approssimazione lineare fornisce 1.414?

   Correzione: $\cos (\pi /4)=0.707107$, quindi $h\cos (x)=0.000707$, ma l'incremento nel log è $h\cos (x)/\sin (x)=0.001\cdot 0.707107/0.707107=0.001$, quindi $f(x+h)\approx f(x)+h\cot (x)=-0.346574+0.001=-0.345574$.

   Quindi rapporto = 0.001/0.001 = 1.

   Il precedente calcolo di $\ln (0.707814)$ è errato: $\ln (0.707814)=\ln (0.707107)+\ln (1+0.001)\approx -0.346574+0.001=-0.345574$, poiché $\ln (1+ϵ)\approx ϵ$.

   Quindi la verifica conferma $\cot (\pi /4)=1$.

Domande frequenti

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