Derivata di $e^{\left(\sin \left(x\right)\right)}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola della catena per la funzione composta

   La funzione $f(x)=e^{\sin (x)}$ è una composizione: la funzione esterna è $e^u$ (con derivata $e^u$) e la funzione interna è $u=\sin (x)$ (con derivata $\cos (x)$).

   Applichiamo la regola della catena:

   $$\frac{d}{dx}{e}^{\sin (x)}=e^{\sin (x)}\cdot \frac{d}{dx}\sin (x)=e^{\sin (x)}\cdot \cos (x).$$

   Il risultato è quindi $e^{\sin (x)}\cos (x)$.

2. 2

   Verifica con calcolo numerico in un punto

   Per verificare, valutiamo la derivata in $x=0$.

   Si ha $\sin (0)=0$, quindi $f(0)=e^0=1$ e $f^{\prime }(0)=e^0\cdot \cos (0)=1\cdot 1=1$.

   Un'approssimazione numerica con incremento $h=0.001$ dà:

   $$\frac{e^{\sin (0.001)}-e^0}{0.001}\approx \frac{e^{0.0009999995}-1}{0.001}\approx \frac{1.0010005-1}{0.001}=1.0005,$$

   che è coerente con il valore atteso $1$, confermando la correttezza del risultato.

Domande frequenti

Esercizi correlati