Derivata di ${\left(3\cdot x-2\right)}^4$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Regola della catena per funzione composta

   La funzione $f(x)=(3x-2{)}^4$ è una composizione: potenza esterna $u^4$ con $u=3x-2$ come argomento interno.

   Applichiamo la regola della catena: derivata della funzione esterna ($4u^3$) moltiplicata per la derivata dell'interno ($3$).

   $$f^{\prime }(x)=4(3x-2{)}^3\cdot 3=12(3x-2{)}^3$$

   Il risultato è semplificato alla forma più compatta.

2. 2

   Verifica mediante espansione polinomiale

   Per controllare, espandiamo $f(x)$ e deriviamo termine a termine.

   $$(3x-2{)}^4=81x^4-216x^3+216x^2-96x+16$$

   Derivata polinomiale:

   $$f^{\prime }(x)=324x^3-648x^2+432x-96$$

   Raccogliendo $12(3x-2{)}^3$:

   $$12(27x^3-54x^2+36x-8)=324x^3-648x^2+432x-96$$

   I due metodi coincidono, confermando la correttezza.

Domande frequenti

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