Integrale di $\frac{x}{{\left(x+1\right)}^2}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Sostituzione variabile

   Poniamo $u=x+1$, così da semplificare il denominatore.

   Allora $x=u-1$ e $dx=du$.

   L'integrale diventa:

   $$\int \frac{x}{(x+1{)}^2}dx=\int \frac{u-1}{u^2}du$$
2. 2

   Scomposizione e integrazione

   Spezziamo la frazione:

   $$\int \left(\frac{u}{u^2}-\frac{1}{u^2}\right)du=\int \left(\frac{1}{u}-u^{-2}\right)du$$

   Integriamo termine a termine:

   $$\int \frac{1}{u}du=\ln |u|,\int u^{-2}du=\frac{u^{-1}}{-1}=-\frac{1}{u}$$

   quindi:

   $$\ln |u|+\frac{1}{u}+C$$
3. 3

   Risostituzione

   Ritorniamo alla variabile $x$ ricordando $u=x+1$:

   $$\ln |x+1|+\frac{1}{x+1}+C$$
4. 4

   Verifica mediante derivazione

   Deriviamo il risultato per controllare che si ottenga l'integranda originale:

   $$D\left[\ln |x+1|+\frac{1}{x+1}\right]=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+1)-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x}{(x+1{)}^2}$$

   La verifica è soddisfatta.

Domande frequenti

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