Integrale di $\frac{1}{\left(x\cdot \left(x+1\right)\right)}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Decomposizione in frazioni parziali

   Si riscrive la funzione razionale come somma di frazioni semplici:

   $$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$$

   Moltiplicando per $x(x+1)$ si ottiene $1=A(x+1)+Bx$.

   Sostituendo $x=0$ si ricava $A=1$; sostituendo $x=-1$ si ricava $B=-1$.

   Pertanto:

   $$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$$
2. 2

   Integrazione termine a termine

   Integrando separatamente:

   $$\int \frac{1}{x}dx-\int \frac{1}{x+1}dx=\ln |x|-\ln |x+1|+C=\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|+C$$

   La verifica si effettua derivando il risultato: la derivata di $\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|$ è $\frac{1}{x(x+1)}$, confermando la correttezza.

Domande frequenti

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