Integrale di $\frac{1}{\left(x^2-1\right)}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Decomposizione in frazioni parziali

   L'integranda $\frac{1}{x^2-1}$ è una funzione razionale con denominatore scomponibile in fattori lineari: $x^2-1=(x-1)(x+1)$.

   Cerchiamo costanti $A$ e $B$ tali che:

   $$\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$$

   Moltiplicando ambo i lati per $(x-1)(x+1)$ si ottiene $1=A(x+1)+B(x-1)$.

   Sostituendo $x=1$ si ha $1=A(2)\Rightarrow A=\frac{1}{2}$; sostituendo $x=-1$ si ha $1=B(-2)\Rightarrow B=-\frac{1}{2}$.

   Pertanto:

   $$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x-1}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x+1}$$
2. 2

   Integrazione diretta

   Integriamo termine a termine:

   $$\int \frac{1}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1}=\frac{1}{2}\ln |x-1|-\frac{1}{2}\ln |x+1|+C$$

   Combinando i logaritmi:

   $$\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$$

   Questa è l'espressione primitiva generale.

3. 3

   Verifica tramite derivazione

   Per assicurarci della correttezza, deriviamo il risultato ottenuto.

   Posto $F(x)=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|$, calcoliamo $F^{\prime }(x)$.

   Usiamo la regola della catena: $F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{x+1}{x-1}\cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$.

   La derivata del rapporto è:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)=\frac{(1)(x+1)-(x-1)(1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}$$

   Quindi:

   $$F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{x+1}{x-1}\cdot \frac{2}{(x+1{)}^2}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x^2-1}$$

   La derivata coincide con l'integranda, confermando il risultato.

Domande frequenti

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