Integrale di $\frac{\left(2\cdot x+1\right)}{\left(x^2+x\right)}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Scomposizione in fratti semplici

   L'integranda $\frac{2x+1}{x^2+x}$ è una funzione razionale.

   Il denominatore si fattorizza come $x^2+x=x(x+1)$.

   Si cerca una decomposizione in fratti semplici della forma:

   $$\frac{2x+1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}$$

   Moltiplicando per $x(x+1)$ si ottiene $2x+1=A(x+1)+Bx=(A+B)x+A$.

   Confrontando i coefficienti si ricava $A=1$ e $A+B=2$, quindi $B=1$.

   Ne segue:

   $$\frac{2x+1}{x^2+x}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$$

   La funzione integranda è quindi la somma di due frazioni semplici.

2. 2

   Integrazione e verifica

   L'integrale diventa:

   $$\int \frac{2x+1}{x^2+x}dx=\int \frac{1}{x}dx+\int \frac{1}{x+1}dx=\ln |x|+\ln |x+1|+C=\ln |x(x+1)|+C$$

   Poiché $x(x+1)=x^2+x$, il risultato si riscrive come $\ln |x^2+x|+C$.

   Verifica: derivando $\ln |x^2+x|+C$ si ottiene $\frac{1}{x^2+x}\cdot (2x+1)=\frac{2x+1}{x^2+x}$, che coincide con l'integranda.

   La soluzione è corretta.

Domande frequenti

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