Integrale di $\frac{1}{\left(2\cdot x+1\right)}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Sostituzione lineare

   Per risolvere l'integrale $\int \frac{1}{2x+1}dx$, si effettua la sostituzione $u=2x+1$.

   La differenziale è $du=2dx$, da cui $dx=\frac{du}{2}$.

   L'integrale diventa:

   $$\int \frac{1}{2x+1}dx=\int \frac{1}{u}\cdot \frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}$$

   Ora $\int \frac{du}{u}=\ln |u|+C_1$, quindi il risultato è $\frac{1}{2}\ln |u|+C$.

   Ricordando $u=2x+1$, otteniamo la forma finale.

2. 2

   Verifica tramite derivazione

   Deriviamo il risultato per controllare che si ottenga l'integranda originale.

   Sia $F(x)=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$.

   Usando la regola della catena:

   $$F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2x+1}\cdot 2=\frac{1}{2x+1}$$

   La derivata coincide con l'integranda, confermando la correttezza del calcolo.

Domande frequenti

Esercizi correlati