Integrale di ${\left(x+1\right)}^2$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Espansione del binomio

   Per calcolare l'integrale indefinito $\int (x+1{)}^{2}dx$, iniziamo sviluppando il quadrato del binomio:

   $$(x+1{)}^2=x^2+2x+1$$

   Questo permette di ottenere una somma di potenze elementari di $x$, facilitando l'integrazione termine a termine.

2. 2

   Integrazione termine a termine

   Applicando la linearità dell'integrale e la regola $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ per $n\ne -1$:

   $$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3},\int 2xdx=x^2,\int 1dx=x$$

   Sommando i termini e aggiungendo la costante di integrazione $C$:

   $$\int (x+1{)}^{2}dx=\frac{1}{3}{x}^3+x^2+x+C$$
3. 3

   Verifica mediante derivazione

   Deriviamo il risultato per controllare che si ottenga l'integranda originale:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}{x}^3+x^2+x+C\right)=x^2+2x+1$$

   Poiché $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$, la verifica è soddisfatta.

   In alternativa, si sarebbe potuto usare la sostituzione $u=x+1$, ottenendo $\frac{(x+1{)}^3}{3}+C$, che è equivalente al risultato ottenuto (con costante diversa).

Domande frequenti

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