Integrale di $\frac{1}{x^2}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riscrittura dell'integranda e applicazione della regola delle potenze

   L'integrale $\int \frac{1}{x^2}dx$ si riscrive come $\int x^{-2}dx$.

   Utilizziamo la regola di integrazione per potenze $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ con $n\ne -1$.

   Qui $n=-2$, quindi $n+1=-1$, ottenendo:

   $$\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x}+C$$
2. 2

   Verifica tramite derivazione

   Deriviamo il risultato $F(x)=-\frac{1}{x}+C$ per confermare che la sua derivata sia l'integranda originale $f(x)=\frac{1}{x^2}$:

   $$\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x}+C\right)=\frac{d}{dx}(-x^{-1})=-(-1)x^{-2}=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$$

   La derivata coincide esattamente con $f(x)$, quindi l'integrale è corretto.

Domande frequenti

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