Integrale di $x\cdot \sqrt{x}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Semplificazione dell'integranda

   Riscriviamo $x\sqrt{x}$ in forma esponenziale per facilitare l'integrazione.

   Ricordando che $\sqrt{x}=x^{1/2}$, si ha:

   $$x\cdot \sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{1+1/2}=x^{3/2}$$

   Ora l'integrale diventa $\int x^{3/2}dx$.

2. 2

   Applicazione della regola della potenza

   Per la regola fondamentale $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ con $n\ne -1$, sostituiamo $n=3/2$:

   $$n+1=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$$

   Quindi:

   $$\int x^{3/2}dx=\frac{x^{5/2}}{\frac{5}{2}}+C=\frac{2}{5}{x}^{5/2}+C$$

   Il risultato può anche essere scritto come $\frac{2}{5}{x}^2\sqrt{x}+C$, ma la forma esponenziale è preferita per la chiarezza.

3. 3

   Verifica tramite derivazione

   Deriviamo il risultato per controllare che restituisca l'integranda originale $x\sqrt{x}$:

   $$\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{5}{x}^{5/2}+C\right)=\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{2}{x}^{5/2-1}=x^{3/2}$$

   Poiché $x^{3/2}=x\cdot x^{1/2}=x\sqrt{x}$, la verifica è positiva.

Domande frequenti

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