Integrale di $\frac{1}{\sqrt{x}}$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riscrittura della funzione integranda

   L'integrale $\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx$ può essere riscritto usando le proprietà delle potenze:

   $$\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$$

   Quindi l'integrale diventa $\int x^{-1/2}dx$.

2. 2

   Applicazione della regola di integrazione delle potenze

   Per $n\ne -1$, la regola è $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$.

   Con $n=-\frac{1}{2}$, si ha $n+1=\frac{1}{2}$, quindi:

   $$\int x^{-1/2}dx=\frac{x^{1/2}}{1/2}+C=2x^{1/2}+C$$

   che in forma radicale è $2\sqrt{x}+C$.

3. 3

   Verifica tramite derivazione

   Derivando il risultato $2\sqrt{x}+C$ si ottiene:

   $$D(2\sqrt{x}+C)=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

   che coincide con l'integranda originale.

   Pertanto il calcolo è corretto.

Domande frequenti

Esercizi correlati