Derivata di ${\tan }^{-1}\left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Derivata diretta della funzione arcotangente

   La derivata della funzione $\arctan (x)$ è una derivata fondamentale del calcolo differenziale.

   Applicando la regola nota:

   $$\frac{d}{dx}\arctan (x)=\frac{1}{1+x^2}$$

   Questa formula è valida per ogni $x\in \mathbb{R}$ poiché il denominatore $1+x^2$ è sempre positivo, quindi non ci sono problemi di dominio.

2. 2

   Verifica tramite derivazione implicita (funzione inversa)

   Per verificare il risultato, consideriamo la funzione inversa: sia $y=\arctan (x)$, allora $x=\tan (y)$.

   Deriviamo implicitamente rispetto a $x$:

   $$1={\sec }^2(y)\cdot \frac{dy}{dx}$$

   Poiché ${\sec }^2(y)=1+{\tan }^2(y)=1+x^2$, otteniamo:

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$$

   Il risultato coincide con la derivata calcolata direttamente, confermando la correttezza.

Domande frequenti

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