Derivata di ${\sin }^{-1}\left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Derivata della funzione inversa

   La funzione $f(x)=\arcsin x$ è l'inversa della funzione $\sin y$ sull'intervallo $[-\pi /2,\pi /2]$.

   Poniamo $y=\arcsin x$, allora $\sin y=x$.

   Deriviamo implicitamente rispetto a $x$:

   $$\cos y\cdot y^{\prime }=1⟹y^{\prime }=\frac{1}{\cos y}$$

   Poiché $\sin y=x$, si ha $\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}=\sqrt{1-x^2}$ (nel dominio $x\in (-1,1)$, il coseno è positivo).

   Quindi:

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

   Verifica: utilizziamo la regola di derivazione delle funzioni inverse: $\frac{d}{dx}{f}^{-1}(x)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}$.

   Con $f(y)=\sin y$, $f^{\prime }(y)=\cos y$, otteniamo lo stesso risultato.

   Inoltre, per un punto specifico come $x=0$, la derivata vale $1$, coerente con il limite ${\lim }_{h\to 0}\frac{\arcsin h}{h}=1$.

Domande frequenti

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