Derivata di ${\cos }^{-1}\left(x\right)$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Derivata dell'arcocoseno con verifica indipendente

   La derivata di $f(x)=\arccos (x)$ si ottiene dalla regola standard $\frac{d}{dx}\arccos (x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, valida per $-1<x<1$.

   Per verificare, usiamo l'identità $\arccos (x)=\frac{\pi }{2}-\arcsin (x)$:

   $$\frac{d}{dx}\arccos (x)=-\frac{d}{dx}\arcsin (x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

   Oppure, derivando implicitamente da $y=\arccos (x)\Rightarrow \cos y=x$:

   $$-\sin y\cdot y^{\prime }=1\Rightarrow y^{\prime }=-\frac{1}{\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1-{\cos }^{2}y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

   Entrambi i metodi confermano il risultato.

   Il dominio della derivata è $(-1,1)$, con asintoti verticali agli estremi.

Domande frequenti

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