Studio di $f(x)=x-\sin \left(x\right)$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=x-\sin x$ è composta da un termine polinomiale $x$ e da un termine trigonometrico $\sin x$, entrambi definiti per ogni $x\in \mathbb{R}$.

   Il dominio è quindi tutto $\mathbb{R}$.

   Verifichiamo la presenza di simmetrie: $f(-x)=-x-\sin (-x)=-x+\sin x=-(x-\sin x)=-f(x)$.

   La funzione è dispari, con grafico simmetrico rispetto all'origine.

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   Intersezioni con gli assi e segno

   Intersezione con l'asse $y$: $x=0\Rightarrow f(0)=0-\sin 0=0$, punto $(0,0)$.

   Intersezione con l'asse $x$: $f(x)=0\Rightarrow x-\sin x=0$.

   L'equazione ha come unica soluzione $x=0$ (per $x>0$, $\sin x\le x$ con uguaglianza solo in $0$; per $x<0$, $\sin x\ge x$).

   Segno: poiché $f$ è dispari, per $x>0$ si ha $f(x)>0$, per $x<0$ si ha $f(x)<0$.

   $$\text{Segno: }f(x)>0\forall x>0,f(x)<0\forall x<0,f(0)=0$$
3. 3

   Limiti agli estremi e asintoti

   Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\sin x)=+\infty \text{(poicheˊ sinx eˋ limitato)}$$

   $$\underset{x\to -\infty }{\lim }(x-\sin x)=-\infty$$

   Verifichiamo la presenza di asintoti obliqui: ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{f(x)}{x}=1$, ma ${\lim }_{x\to \pm \infty }(f(x)-x)=-\sin x$ non esiste (oscilla tra $-1$ e $1$), quindi non ci sono asintoti di alcun tipo.

4. 4

   Derivata prima e monotonia

   Calcoliamo la derivata prima: $f^{\prime }(x)=1-\cos x$.

   Poiché $\cos x\le 1$, si ha $f^{\prime }(x)\ge 0$ per ogni $x$.

   La derivata si annulla quando $\cos x=1$, cioè per $x=2k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$.

   La funzione è quindi non decrescente su tutto $\mathbb{R}$; in realtà è strettamente crescente perché la derivata si annulla solo in punti isolati.

   Non esistono né massimi né minimi locali.

   I punti $x=2k\pi$ sono punti stazionari (flessi orizzontali, come vedremo dalla derivata seconda).

5. 5

   Derivata seconda e concavità

   Derivata seconda: $f^{\prime \prime }(x)=\sin x$.

   Lo studio del segno di $f^{\prime \prime }$ determina la concavità:

   - $f^{\prime \prime }(x)>0$ per $\sin x>0$, ovvero $x\in (2k\pi ,(2k+1)\pi )$ → concavità verso l'alto. - $f^{\prime \prime }(x)<0$ per $\sin x<0$, ovvero $x\in ((2k+1)\pi ,(2k+2)\pi )$ → concavità verso il basso. - $f^{\prime \prime }(x)=0$ per $x=k\pi$: punti di flesso (cambio di concavità).

   In particolare, nei punti $x=2k\pi$ (dove $f^{\prime }(x)=0$) si ha anche $f^{\prime \prime }(x)=0$: si tratta di flessi a tangente orizzontale.

6. 6

   Descrizione del grafico

   Il grafico di $f(x)=x-\sin x$ è rappresentato dalla retta $y=x$ (bisettrice del primo e terzo quadrante) con sovrapposta un'oscillazione sinusoidale.

   Principali caratteristiche:

   - Simmetria dispari rispetto all'origine. - Passa per l'origine $(0,0)$ e interseca la retta $y=x$ in tutti i punti $x=k\pi$ (poiché $f(k\pi )=k\pi$). - È strettamente crescente su tutto $\mathbb{R}$. - Concavità variabile: verso l'alto negli intervalli $(2k\pi ,(2k+1)\pi )$, verso il basso in $((2k+1)\pi ,(2k+2)\pi )$. - Punti di flesso per $x=k\pi$; in $x=2k\pi$ il flesso è a tangente orizzontale (derivata prima nulla). - Per $x>0$, $f(x)<x$ quando $\sin x>0$ (intervalli $(2k\pi ,(2k+1)\pi )$) e $f(x)>x$ quando $\sin x<0$ ($((2k+1)\pi ,(2k+2)\pi )$).

   Viceversa per $x<0$ a causa della simmetria.

   In sintesi, il grafico oscilla attorno alla retta $y=x$, incrociandola periodicamente e presentando flessi.

Domande frequenti

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