Studio di $f(x)=\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)$

Studio completo passo-passo

1. 1

   Dominio e simmetrie

   La funzione $f(x)=\sin x+\cos x$ è somma di due funzioni trigonometriche definite su tutto $\mathbb{R}$, quindi il dominio è $\mathbb{R}$.

   Verifichiamo eventuali simmetrie calcolando $f(-x)=\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x$.

   Poiché $f(-x)$ non è uguale né a $f(x)$ né a $-f(x)$, non ci sono simmetrie pari o dispari.

   Tuttavia la funzione è periodica di periodo $2\pi$ in quanto $\sin x$ e $\cos x$ hanno periodo $2\pi$, e si può riscrivere come $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$, confermando il periodo $2\pi$.

2. 2

   Intersezioni con gli assi

   Asse $y$ ($x=0$): $f(0)=\sin 0+\cos 0=0+1=1$, quindi punto $(0,1)$.

   Asse $x$ ($f(x)=0$): $\sin x+\cos x=0\Rightarrow \sin x=-\cos x\Rightarrow \tan x=-1$.

   Le soluzioni sono $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ con $k\in \mathbb{Z}$, ovvero infinite intersezioni periodiche.

3. 3

   Segno della funzione

   Riscriviamo $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

   Il segno dipende dal seno: positivo quando $x+\frac{\pi }{4}\in (2k\pi ,\pi +2k\pi )$, cioè $x\in \left(-\frac{\pi }{4}+2k\pi ,\frac{3\pi }{4}+2k\pi \right)$; negativo altrove (esclusi gli zeri).

   In particolare $f(x)>0$ per $x\in \left(-\frac{\pi }{4}+2k\pi ,\frac{3\pi }{4}+2k\pi \right)$ e $f(x)<0$ per $x\in \left(\frac{3\pi }{4}+2k\pi ,\frac{7\pi }{4}+2k\pi \right)$.

4. 4

   Limiti e asintoti

   Gli estremi del dominio sono $-\infty$ e $+\infty$, ma la funzione è periodica e limitata tra $-\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$.

   Pertanto non esistono limiti finiti o infiniti per $x\to \pm \infty$: la funzione oscilla indefinitamente.

   Non ci sono asintoti orizzontali, verticali (nessun punto di illimitatezza) né obliqui.

5. 5

   Derivata prima e monotonia

   Calcoliamo la derivata: $f^{\prime }(x)=\cos x-\sin x$.

   Studiamo il segno: - $f^{\prime }(x)>0$ quando $\cos x>\sin x$, cioè $\tan x<1$.

   Negli intervalli $\left(-\frac{3\pi }{4}+2k\pi ,\frac{\pi }{4}+2k\pi \right)$ la funzione è crescente. - $f^{\prime }(x)<0$ quando $\cos x<\sin x$, cioè $\tan x>1$.

   Negli intervalli $\left(\frac{\pi }{4}+2k\pi ,\frac{5\pi }{4}+2k\pi \right)$ la funzione è decrescente.

   Punti stazionari: $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow \cos x=\sin x\Rightarrow \tan x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.

   Per classificare usiamo la derivata seconda: $f^{\prime \prime }(x)=-\sin x-\cos x$. - Per $x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$: $f^{\prime \prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}<0$ → massimi locali, valore $f=\sqrt{2}$. - Per $x=\frac{5\pi }{4}+2k\pi$: $f^{\prime \prime }\left(\frac{5\pi }{4}\right)=-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}>0$ → minimi locali, valore $f=-\sqrt{2}$.

6. 6

   Descrizione del grafico

   La funzione $f(x)=\sin x+\cos x$ è un'onda sinusoidale di ampiezza $\sqrt{2}$, periodo $2\pi$, con sfasamento di $-\frac{\pi }{4}$ rispetto a $\sin x$ (o anticipo di $\frac{\pi }{4}$).

   Intercetta l'asse $y$ in $(0,1)$ e l'asse $x$ nei punti $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$.

   Presenta massimi relativi di valore $\sqrt{2}$ in $x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$ e minimi relativi di valore $-\sqrt{2}$ in $x=\frac{5\pi }{4}+2k\pi$.

   Il grafico è continuo, regolare, e si ripete identico ogni $2\pi$.

Domande frequenti

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