Limite di $x-\sqrt{x^2+x}$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Razionalizzazione per eliminare l'indeterminazione ∞−∞

   Il limite ${\lim }_{x\to +\infty }(x-\sqrt{x^2+x})$ si presenta nella forma indeterminata $\infty -\infty$.

   Per risolverla, moltiplichiamo e dividiamo per il coniugato $x+\sqrt{x^2+x}$, sfruttando l'identità $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

   $$\begin{array}{rl}x-\sqrt{x^2+x}& =\frac{(x-\sqrt{x^2+x})(x+\sqrt{x^2+x})}{x+\sqrt{x^2+x}}\\ & =\frac{x^2-(x^2+x)}{x+\sqrt{x^2+x}}=\frac{-x}{x+\sqrt{x^2+x}}.\end{array}$$

   Ora il limite diventa $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x}{x+\sqrt{x^2+x}}$, ancora una forma $\frac{\infty }{\infty }$, ma più semplice.

2. 2

   Raccoglimento di $x$ e calcolo del limite

   Nel denominatore, $\sqrt{x^2+x}=x\sqrt{1+\frac{1}{x}}$ per $x>0$.

   Raccogliamo $x$ sia al numeratore che al denominatore:

   $$\frac{-x}{x+x\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=\frac{-x}{x(1+\sqrt{1+\frac{1}{x}})}=\frac{-1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}.$$

   Ora, per $x\to +\infty$, $\frac{1}{x}\to 0$, quindi $\sqrt{1+\frac{1}{x}}\to 1$.

   Di conseguenza:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1}{1+\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=\frac{-1}{1+1}=-\frac{1}{2}.$$

   Il limite è dunque $-\frac{1}{2}$.

3. 3

   Verifica con sviluppo di Taylor e regola di L'Hôpital

   Per confermare il risultato, si può sviluppare $\sqrt{x^2+x}$ in serie asintotica:

   $$\sqrt{x^2+x}=x\sqrt{1+\frac{1}{x}}=x\left(1+\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^2}+O\left(\frac{1}{x^3}\right)\right)=x+\frac{1}{2}-\frac{1}{8x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right).$$

   Quindi $x-\sqrt{x^2+x}=x-\left(x+\frac{1}{2}+o(1)\right)=-\frac{1}{2}+o(1)\to -\frac{1}{2}$.

   In alternativa, applicando la regola di L'Hôpital alla forma $\frac{-x}{x+\sqrt{x^2+x}}$ (derivata del numeratore: $-1$; derivata del denominatore: $1+\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x}}\to 1+1=2$), si ottiene lo stesso risultato $-\frac{1}{2}$.

   Tutti i metodi concordano.

Domande frequenti

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