Limite di $\sqrt{x^2+1}-x$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Razionalizzazione moltiplicando per il coniugato

   La forma $\sqrt{x^2+1}-x$ è indeterminata del tipo $\infty -\infty$.

   Moltiplichiamo e dividiamo per $\sqrt{x^2+1}+x$:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+1}-x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(x^2+1)-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}.$$

   Il denominatore tende a $+\infty$, quindi il limite vale $0$.

2. 2

   Verifica con sviluppo di Taylor

   Per $x\to +\infty$ possiamo raccogliere $x$:

   $$\sqrt{x^2+1}=x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=x\left(1+\frac{1}{2x^2}-\frac{1}{8x^4}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)\right)=x+\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^3}+O\left(\frac{1}{x^5}\right).$$

   Sottraendo $x$ si ottiene $\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^3}+O\left(\frac{1}{x^5}\right)$, che tende a $0$ per $x\to +\infty$.

   Entrambi i metodi concordano, il limite è $0$.

Domande frequenti

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