Limite di $e^{\left(-x\right)}$ per $x\to +\infty$

Svolgimento passo-passo

1. 1

   Riscrittura dell'espressione

   Il limite da calcolare è ${\lim }_{x\to +\infty }{e}^{-x}$.

   Riscriviamo l'esponenziale negativo come reciproco:

   $$e^{-x}=\frac{1}{e^x}$$

   Poiché $x\to +\infty$, la base $e>1$ fa sì che $e^x$ cresca senza limite.

2. 2

   Calcolo del limite tramite comportamento asintotico

   Consideriamo il denominatore $e^x\to +\infty$ per $x\to +\infty$.

   Allora:

   $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{e^x}=\frac{1}{+\infty }=0$$

   Non si presenta alcuna forma indeterminata, quindi il risultato è immediato.

3. 3

   Verifica del risultato

   Possiamo verificare osservando che la funzione $f(x)=e^{-x}$ è positiva e decrescente per $x>0$, con limite inferiore $0$.

   Un controllo numerico: per $x=10$, $e^{-10}\approx 0.000045$, per $x=20$, $e^{-20}\approx 2.06\times 10^{-9}$, confermando la tendenza a zero.

   Inoltre, l'asintoto orizzontale è $y=0$.

Domande frequenti

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