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Integrazione per Parti

La via di fuga per i prodotti tra funzioni "diverse". Scopri la formula derivata da Leibniz e il trucco infallibile per non sbagliare mai le scelte.

La Formula Fondamentalmente Strana

Cosa fai quando hai l'integrale di una moltiplicazione tra funzioni che non c'entrano nulla l'una con l'altra (come un polinomio e un esponenziale: $\int x \cdot e^x dx$ )? Non c'è nessuna derivata interna da sostituire.
In questi casi, si usa la formula di Integrazione per Parti, che nasce direttamente dalla Regola del Prodotto delle derivate di Leibniz.

La Formula (Da studiare a memoria)

\int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx

f(x)

Fattore da derivare (o Fattore Finito)

g'(x)

Fattore da integrare (o Differenziale)

L'idea geniale è questa: prendiamo l'integrale iniziale (che è difficile) e lo trasformiamo in una moltiplicazione già risolta MENO un nuovo integrale. Se facciamo le scelte giuste, il nuovo integrale sarà molto più facile di quello di partenza!

Chi derivo e chi integro? La regola A.L.P.E.S.

Tutto il successo del metodo si basa sulla scelta di quale funzione chiamare $f$ (da derivare per "abbassarla" di grado) e quale chiamare $g'$ (da integrare). Per non sbagliare mai, usa l'acronimo A.L.P.E.S. (o I.L.A.T.E. per i testi in inglese). Questa parola ti dice l'ordine di priorità su chi eleggere a funzione $f(x)$ da derivare.

Ord.	Lettera	Funzione	Esempi
1°	A	Arcotangente / Arcoseno	$\arctan(x), \arcsin(x)$
2°	L	Logaritmi	$\ln(x), \log_2(x)$
3°	P	Polinomi (Potenze)	$x^2, x, 5x^3-1$
4°	E	Esponenziali	$e^x, 2^x$
5°	S	Seni e Coseni	$\sin(x), \cos(x)$

Come si usa: Scansioni il tuo integrale. La prima funzione che trovi scorrendo la lista dall'alto verso il basso sarà la tua

f(x)

. L'altra sfortunata funzione diventerà

g'(x)

e dovrà essere integrata.

Mettiamo tutto in Pratica

Calcoliamo: $\int x \cdot e^x \, dx$

Step 1: Uso ALPES per le scelte

Abbiamo un Polinomio ( $x$ ) e un Esponenziale ( $e^x$ ). Nella parola A.L.P.E.S. la P viene prima della E.

Fattore da derivare: $\color{#ea580c}f(x) = x$
Fattore da integrare: $\color{#4338ca}g'(x) = e^x$

Step 2: Preparo i pezzi

Derivo la f: $\color{#ea580c}f'(x) = 1$
Integro la g': $\color{#4338ca}g(x) = \int e^x dx = e^x$

Step 3: Incollo nella formula

Formula: $f \cdot g - \int f' \cdot g$

= (\color{#ea580c}x\color{black}) \cdot (\color{#4338ca}e^x\color{black}) - \int (\color{#ea580c}1\color{black}) \cdot (\color{#4338ca}e^x\color{black}) \, dx

Il nuovo integrale è $\int e^x dx$ , che è immediato! Risolviamo l'ultimo step:

= x e^x - e^x + c

👻

L'integrale "Fantasma" del Logaritmo

Ti capita $\int \ln(x) \, dx$ all'esame e non è nella tabella. Come si fa? Trucco: scrivilo come $\int \mathbf{1} \cdot \ln(x) \, dx$ e usa l'integrazione per parti! Il logaritmo ("L") ha la priorità, quindi lo derivi, e quell'1 "fantasma" fa da Polinomio ("P" di grado zero) e lo integri a $x$ .

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Strumento Pratico

Integrazione Passo-Passo.

Se l'integrale è un mostro ricorsivo, non impazzire. Il nostro Calcolatore sceglierà autonomamente chi derivare (con regola ALPES) e mostrerà in chiaro la formula "per parti" usata ad ogni step.

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