Edu/Analisi 1/Integrali

Integrazione per Sostituzione

Quando l'integrale sembra impossibile, cambia il punto di vista. Impara a usare una nuova variabile per trasformare un mostro in un integrale elementare.

La Logica del Metodo

Spesso ci troviamo di fronte a integrali che non assomigliano a nessuna formula della tabella. La Sostituzione è una tecnica chirurgica: scegliamo un "blocco" fastidioso della funzione, lo ribattezziamo con una nuova lettera (di solito $t$ ), e traduciamo tutto l'integrale in questo nuovo mondo. Se abbiamo scelto bene, l'integrale nel mondo di $t$ sarà facilissimo!

Il Teorema

Se poniamo $t = g(x)$ , dobbiamo ricordarci di convertire anche il "motore" dell'integrale, ovvero il $dx$ . Derivando entrambi i lati otteniamo $dt = g'(x)dx$ .

\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx = \int f(t) \, dt

L'Algoritmo in 5 Passi

La sostituzione si risolve applicando questo schema in modo meccanico. Vediamolo in azione con un esempio classico: $\int 2x \cos(x^2) \, dx$ .

Scegli la $t$

Scegli il "blocco" più interno e fastidioso, sperando che la sua derivata sia nascosta lì vicino. Poniamo $t = x^2$ .

Differenzia (Trova il $dt$ )

Deriva entrambi i lati dell'equazione rispetto alle loro variabili. A sinistra scrivi $dt$ , a destra scrivi la derivata di $x^2$ con $dx$ attaccato.

dt = 2x \, dx

Traduci l'integrale

Riscrivi l'integrale originale sostituendo tutti i pezzi di $x$ con i nuovi pezzi di $t$ .

\int \cos(\color{blue}{x^2}\color{black}) \cdot \color{red}{2x \, dx}

\implies \int \cos(\color{blue}{t}\color{black}) \, \color{red}{dt}

Risolvi il nuovo integrale

Ora sei nel mondo di $t$ , e l'integrale è una formula immediata nota! La primitiva di $\cos(t)$ è $\sin(t)$ .

\sin(t) + c

Il Ritorno (Sostituzione Inversa)

Il risultato finale deve essere scritto nella variabile originale $x$ . Prendi il risultato e sostituisci di nuovo la $t$ col suo valore iniziale ( $x^2$ ).

\sin(x^2) + c

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