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Edu/Analisi 1/Integrali

Funzioni Razionali Fratte

Come integrare la divisione tra due polinomi. Impara l'algoritmo infallibile: dalla divisione preliminare ai tre casi del Delta.

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Lo Step "Zero": Il controllo dei Gradi

Prima di buttarti a fare calcoli folli su un integrale del tipo ∫N(x)D(x)dx\int \frac{N(x)}{D(x)} dx, devi sempre fare una domanda vitale: chi "pesa" di più tra numeratore e denominatore?

La Divisione dei Polinomi

Se il grado del Numeratore è maggiore o uguale al grado del Denominatore, devi assolutamente fare la divisione in colonna dei polinomi! La formula magica che ti salva è:

N(x)D(x)=Q(x)+R(x)D(x)\frac{N(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}

Dove Q(x)Q(x) è il Quoziente (facilissimo da integrare) e R(x)R(x) è il Resto (che ora ha un grado più piccolo del denominatore!).

⚖️Esempio
x2+1x  ⟹  x+1x\frac{x^2 + 1}{x} \implies x + \frac{1}{x}
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Il Denominatore di 2° Grado: Il destino è nel Delta

Una volta superato lo Step Zero, ti ritroverai quasi sempre con un denominatore di secondo grado: ax2+bx+cax^2 + bx + c. Il metodo per risolverlo dipende esclusivamente dal suo discriminante (Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac).

Caso 1: Delta Positivo

Δ>0\Delta > 0

Il denominatore ha due radici reali distinte. Si scompone in fratti semplici A e B.

Vedi Soluzione ↓

Poiché il denominatore si scompone in (x−x1)(x−x2)(x - x_1)(x - x_2), spacchiamo la frazione in due pezzi più semplici:

…(x−x1)(x−x2)=Ax−x1+Bx−x2\frac{\dots}{(x-x_1)(x-x_2)} = \frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2}

Una volta trovati i numeri A e B con il principio di identità dei polinomi, l'integrale diventa la somma di due logaritmi!

Caso 2: Delta Nullo

Δ=0\Delta = 0

Il denominatore è un quadrato di binomio perfetto. Usiamo sempre A e B, ma attento al quadrato.

Vedi Soluzione ↓

Il denominatore si scompone in (x−x0)2(x - x_0)^2. La scomposizione in fratti semplici cambia leggermente:

…(x−x0)2=Ax−x0+B(x−x0)2\frac{\dots}{(x-x_0)^2} = \frac{A}{x-x_0} + \frac{B}{(x-x_0)^2}

Il primo pezzo (A) diventerà un logaritmo, mentre il secondo pezzo (B) si integrerà con la regola delle potenze (n=−2n = -2).

Caso 3: Delta Negativo

Δ<0\Delta < 0

Il denominatore non si può scomporre. Benvenuto nel temibile regno dell'Arcotangente.

Vedi Soluzione ↓

Non potendo usare A e B, dobbiamo manipolare il denominatore con il metodo del Completamento del Quadrato per ricondurci alla forma:

∫f′(x)1+[f(x)]2dx=arctan⁡(f(x))\int \frac{f'(x)}{1 + [f(x)]^2} dx = \arctan(f(x))

Se al numeratore c'è una "x", dovrai prima "crearti" la derivata del denominatore per estrarre un logaritmo, e poi fare l'arcotangente col resto.

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